Падмноства

Падмно́ства — мноства, якое з’яўляецца часткай іншага, большага мноства. Больш фармальна, мноства B з’яўляецца падмноствам мноства A, калі любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A:

${\displaystyle ~B\subseteq A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)}$

Уласцівасці падмностваў

Падмноства мае наступныя ўласцівасці, якія вынікаюць непасрэдна з яго вызначэння:

• любое мноства з’яўляецца падмноствам сябе самога: ${\displaystyle \forall A,A\subseteq A}$
• пустое мноства з’яўляецца падмноствам любога мноства: ${\displaystyle \forall A,\varnothing \subseteq A}$
• любое мноства з’яўляецца падмноствам універсальнага мноства: ${\displaystyle \forall A,A\subseteq U}$
• аб’яднанне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае мноства: ${\displaystyle B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cup B=A}$
• перасячэнне любога мноства са сваім падмноствам складае гэтае падмноства: ${\displaystyle B\subseteq A\ \Leftrightarrow \ A\cap B=B}$.

Уласнае падмноства

Мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам мноства A, калі:

• любы элемент B з’яўляецца адначасова элементам A
• у A існуе прынамсі адзін элемент, які не ўваходзіць у B.

Калі мноства B з’яўляецца ўласным падмноствам A, гэта абазначаецца так: ${\displaystyle B\subset A}$

${\displaystyle ~B\subset A\quad \Leftrightarrow \quad \forall b\ (b\in B\to b\in A)\ \land \ \exists a\ (a\in A\ \land \ a\notin B)}$

Відавочна, што

• калі B з’яўляецца ўласным падмноствам A, то яно з’яўляецца адначасова і яго звычайным падмноствам: ${\displaystyle B\subset A\Rightarrow B\subseteq A}$
• ніводнае мноства не з’яўляецца ўласным падмноствам сябе самога (гэта галоўная асаблівасць уласнага падмноства, якая адрознівае яго ад звычайнага падмноства)

Усе астатнія ўласцівасці ўласных падмностваў аналагічныя да адпаведных уласцівасцяў падмностваў.